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小学升初中奥数专题（！）
作者:雨中浪漫 日期:2009-06-27
第一讲 行程问题 1
1.1 追及与相遇 1
1.2 环形路上的行程问题 7
1.3 稍复杂的问题 12
第二讲 和、差与倍数的应用题 18
2.1 和差问题 18
2.2 倍数问题 21
2.3 盈不足问题 25
第三讲 数论的方法技巧之一 29
3.1 利用整数的各种表示法 30
3.2 枚举法 32
3.3 归纳法 34
第四讲 数论的方法技巧之二 37
4.1 反证法 37
4.2 构造法 38
4.3 配对法 39
4.4 估计法 41
第五讲 整数问题之一 43
5.1 整除 43
5.2 分解质因数 48
5.3 余数 53
第六讲 图形面积 60
6.1 三角形的面积 60
6.2 有关正方形的问题 64
6.3 其他的面积 68
第七讲 工程问题 72
7.1 两个人的问题 73
7.2 多人的工程问题 77
7.3 水管问题 81
第八讲 比和比例关系 87
8.1 比和比的分配 87
8.2 比的变化 93
8.3 比例的其他问题 97
第九讲 经济问题 104
第十讲 溶液问题 109
第十一讲 简单几何体的表面积与体积的计算 114
11.1 四种常见几何体的平面展开图 114
11.2 四种常见几何体表面积与体积公式 115
11.3 例题选讲 116
第十二讲 循环小数化分数 123
12.1 纯循环小数化分数 123
12.2 混循环小数化分数 124
12.3 循环小数的四则运算 125
第十三讲 估计与估算 127
第十四讲 列方程解应用题 134
14.1 列简易方程解应用题 134
14.2 引入参数列方程解应用题 138
14.3 列不定方程解应用题 140
第一讲 行程问题
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：
距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；
速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；
时间行走或移动所花时间.
这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：
距离=速度×时间
很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如
总量=每个人的数量×人数.
工作量=工作效率×时间.
因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.
当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.
这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米
1.1 追及与相遇
有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，
甲走的距离-乙走的距离
= 甲的速度×时间-乙的速度×时间
=（甲的速度-乙的速度）×时间.
通常，“追及问题”要考虑速度差.
例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.
此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此
所用时间=9÷6＝1.5（小时）.
小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是
面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.
城门离学校的距离是
48×1.5＝72（千米）.
答：学校到城门的距离是72千米.
例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？
解一：可以作为“追及问题”处理.
假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是
50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）•
因此，小张走的距离是
75× 20＝ 1500（米）.
答：从家到公园的距离是1500米.
还有一种不少人采用的方法.
家到公园的距离是
一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.
例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？
解一：自行车1小时走了
30×1-已超前距离，
自行车40分钟走了
自行车多走20分钟，走了
因此，自行车的速度是
答：自行车速度是20千米/小时.
解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差
1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：
马上可看出前一速度差是15.自行车速度是
35- 15＝ 20（千米/小时）.
解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.
例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
解：画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
8-4＝4（千米）.
而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.
但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了
4＋12＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.
摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.
8＋8＋16＝32.
答：这时是8点32分.
下面讲“相遇问题”.
小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么
甲走的距离+乙走的距离
=甲的速度×时间+乙的速度×时间
=（甲的速度+乙的速度）×时间.
“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.
例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？
解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是
36÷（3＋1）＝9（分钟）.
答：两人在9分钟后相遇.
例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.
解：画一张示意图
离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米
小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是
2÷（5-4）＝2（小时）.
因此，甲、乙两地的距离是
（5＋ 4）×2＝18（千米）.
本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.
请再看一个例子.
例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.
解：先画一张行程示意图如下
设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.
下面的考虑重点转向速度差.
在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点
（或E点）相遇所用时间是
28÷5＝ 5.6（小时）.
比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.
甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是
12÷0.4＝30（千米/小时）.
同样道理，乙的速度是
16÷0.4＝40（千米/小时）.
A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.
答： A，B两地距离是 420千米.
很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.
例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.
问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？
（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？
解：（1）小张从 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分钟）；当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了
因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是
2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分钟）.
从出发到相遇的时间是
25＋ 15＝ 40 （分钟）.
（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.
小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走
小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.
答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.
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1.1 追及与相遇 1
1.2 环形路上的行程问题 7
1.3 稍复杂的问题 12
第二讲 和、差与倍数的应用题 18
2.1 和差问题 18
2.2 倍数问题 21
2.3 盈不足问题 25
第三讲 数论的方法技巧之一 29
3.1 利用整数的各种表示法 30
3.2 枚举法 32
3.3 归纳法 34
第四讲 数论的方法技巧之二 37
4.1 反证法 37
4.2 构造法 38
4.3 配对法 39
4.4 估计法 41
第五讲 整数问题之一 43
5.1 整除 43
5.2 分解质因数 48
5.3 余数 53
第六讲 图形面积 60
6.1 三角形的面积 60
6.2 有关正方形的问题 64
6.3 其他的面积 68
第七讲 工程问题 72
7.1 两个人的问题 73
7.2 多人的工程问题 77
7.3 水管问题 81
第八讲 比和比例关系 87
8.1 比和比的分配 87
8.2 比的变化 93
8.3 比例的其他问题 97
第九讲 经济问题 104
第十讲 溶液问题 109
第十一讲 简单几何体的表面积与体积的计算 114
11.1 四种常见几何体的平面展开图 114
11.2 四种常见几何体表面积与体积公式 115
11.3 例题选讲 116
第十二讲 循环小数化分数 123
12.1 纯循环小数化分数 123
12.2 混循环小数化分数 124
12.3 循环小数的四则运算 125
第十三讲 估计与估算 127
第十四讲 列方程解应用题 134
14.1 列简易方程解应用题 134
14.2 引入参数列方程解应用题 138
14.3 列不定方程解应用题 140
第一讲 行程问题
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：
距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；
速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；
时间行走或移动所花时间.
这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：
距离=速度×时间
很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如
总量=每个人的数量×人数.
工作量=工作效率×时间.
因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.
当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.
这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米
1.1 追及与相遇
有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，
甲走的距离-乙走的距离
= 甲的速度×时间-乙的速度×时间
=（甲的速度-乙的速度）×时间.
通常，“追及问题”要考虑速度差.
例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.
此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此
所用时间=9÷6＝1.5（小时）.
小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是
面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.
城门离学校的距离是
48×1.5＝72（千米）.
答：学校到城门的距离是72千米.
例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？
解一：可以作为“追及问题”处理.
假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是
50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）•
因此，小张走的距离是
75× 20＝ 1500（米）.
答：从家到公园的距离是1500米.
还有一种不少人采用的方法.
家到公园的距离是
一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.
例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？
解一：自行车1小时走了
30×1-已超前距离，
自行车40分钟走了
自行车多走20分钟，走了
因此，自行车的速度是
答：自行车速度是20千米/小时.
解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差
1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：
马上可看出前一速度差是15.自行车速度是
35- 15＝ 20（千米/小时）.
解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.
例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
解：画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
8-4＝4（千米）.
而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.
但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了
4＋12＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.
摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.
8＋8＋16＝32.
答：这时是8点32分.
下面讲“相遇问题”.
小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么
甲走的距离+乙走的距离
=甲的速度×时间+乙的速度×时间
=（甲的速度+乙的速度）×时间.
“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.
例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？
解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是
36÷（3＋1）＝9（分钟）.
答：两人在9分钟后相遇.
例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.
解：画一张示意图
离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米
小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是
2÷（5-4）＝2（小时）.
因此，甲、乙两地的距离是
（5＋ 4）×2＝18（千米）.
本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.
请再看一个例子.
例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.
解：先画一张行程示意图如下
设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.
下面的考虑重点转向速度差.
在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点
（或E点）相遇所用时间是
28÷5＝ 5.6（小时）.
比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.
甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是
12÷0.4＝30（千米/小时）.
同样道理，乙的速度是
16÷0.4＝40（千米/小时）.
A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.
答： A，B两地距离是 420千米.
很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.
例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.
问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？
（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？
解：（1）小张从 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分钟）；当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了
因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是
2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分钟）.
从出发到相遇的时间是
25＋ 15＝ 40 （分钟）.
（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.
小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走
小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.
答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.
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