第十五讲最短路线问题  

在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。比如：邮递员送信，要穿遍所有的街道，为了少走冤枉路，需要选择一条最短的路线；旅行者希望寻求最佳旅行路线，以求能够走最近的路而达到目的地，等等。这样的问题，就是我们所要研究学习的“最短路线问题”。
典型例题
    例[1]  假如直线AB是一条公路，公路两旁有甲乙两个村子，如下图1。现在要在公路上修建一个公共汽车站，让这两个村子的人到汽车站的路线之和最短。问：车站应该建在什么地方？







    分析  如果只考虑甲村的人距离公路AB最近，只要由甲村向公路AB画一条垂直线，交AB于C点，那么C点是甲村到公路AB最近的点，但是乙村到C点就较远了。
    反过来，由乙村向公路AB画垂线，交AB于D点，那么D点是乙村到公路AB最近的点。但是这时甲村到公路AB的D点又远了。
因为本题要求我们在公路AB上取的建站点，能够兼顾甲村和乙村的人到这个车站来不走冤枉路（既路程之和最短），根据我们的经验：两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲村乙村间连一条直线，这条直线与公路AB交点P，就是所求的公共汽车站的建站点了（图2）。

    解   用直线把甲村、乙村连起来。因为甲村乙村在公路的两侧，所以这条连线必与公路AB有一个交点，设这个交点为P，那么在P点建立汽车站，就能使甲村乙村的人到汽车站所走的路程之和最短。


    例[2]  一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？




    分析  选择最短的路线最合理。那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的。邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点。因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点。但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的。要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点。如果有不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短。
    为使8个奇点变成偶点，我们可以用图4的4种方法走重复的路线。









    图4中添虚线的地方，就是重复走的路线。重复走的路程分别为：
3×4=12（千米）
3×2＋2×2=10（千米）
2×4=8（千米）
3×2＋4×2=14（千米）
    当然，重复走的路程最短，总路程就最短。从上面的计算不难找出最合理的路线了。
    解  邮递员应按图4（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理。全程为：
（1＋2＋4＋2＋1）×2＋3×6＋2×4
=20＋18＋8
=46（千米）

    例[3]  图5中的线段表示的是小明从家到学校所能经过的所有街道。小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校的方向而走冤枉路。那么小明从家到学校可以有多少条不同的路线？






    分析  为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图6）。




我们从小明家出发，顺序往前推。由于从小明家到A、B、C、D各处都是沿直线行走，所以都只有一种走法。我们分别在交叉点处标上“1”。而从小明家到E处，就有先到A或先到D的两种走法，正好是两个对角上标的数1+1的和。从小明家到F点，则有3条路线，又正好是两个对角上标的数1+2的和。
    标在各交叉点的数，就是依次顺序推出的到各交叉点能有多少种不同的路线的数。从中我们可以看出，每个格内上右角与下左角两个对角上的数的和，正好等于下右角上的数。
    解  从小明家到学校有13条不同的路线。如图7所示。






    图7


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